martes, 22 de febrero de 2011

Sumar llevando




Yo tuve un compañero de matemáticas que intentaba boicotearme mis clases. “¡A estudiar matemáticas!”- vociferaba mientras entraba en clase como elefante en cristalería, conmigo todavía dentro- “¡Dejen eso, que la filosofía no sirve para nada!”.

Aunque tanto mis alumnos como yo nos tomábamos sus exabruptos con humor e incluso ellos muchas veces hacían una encendida defensa de la filosofía, no pude por menos que acordarme de él al ver una noticia este pasado diciembre en la que se dice que se ha superado un problema matemático de hace casi 80 años, y al final dice: “El problema no tiene aplicaciones inmediatas”.

¡80 años! ¡80 años estrujándose los sesos un montón de matemáticos pensando en cuál es el tamaño máximo de un conjunto de Sidon si se permite que cada suma se repita hasta dos veces! Que no me dirán ustedes que no es un problema claro y transparente, que sirve además para un montón de cosas, no como la filosofía, que habla de la libertad, y de los valores morales, y de la felicidad, y del sentido de la vida y demás machangadas.

Y, sin embargo, y a pesar de mi compañero (al que creo que, en el fondo, también le gustaba la filosofía), me encantan las matemáticas. Hay en ellas algo seguro, permanente, confiable (si nos olvidamos de la teoría del caos y de las paradojas). También es verdad que tuve un maestro excepcional, mi padre, al que me parece ver todavía con un lápiz muy afilado dibujando ante mí números y figuras con una letra preciosa de las de antes y explicándome con paciencia de santo los problemas de clase. Él me enseñó la magia y la belleza de los números. La misma que ya había descubierto hace 27 siglos el viejo Pitágoras cuando, pensando que no hay figura más perfecta que la esfera ni mejor número que el 10 (porque, después de todo, decía, es la suma de 1 + 2 + 3 + 4), imaginó el universo como un conjunto de 10 esferas más puras que el cristal que giraban produciendo una música maravillosa que, torpes e insensibles, nuestros oídos no saben escuchar. Sí, ya sé que es una teoría más falsa que Judas pero no me dirán que no es bella. Y, por lo menos, supo ver lo que Galileo dirá 20 siglos después, que la naturaleza está escrita en lenguaje matemático.

Por eso, si la miramos con detenimiento, aparecen a nuestros ojos el círculo de la luna llena en las noches claras, las azucenas y amarilis estrellados, las líneas paralelas de los sembrados, las espirales en las conchas que recogemos en la playa, la figura cónica de los abetos y los volcanes, la simetría de los cuerpos, la armonía en los sonidos.

Y también te encuentras a cada paso con los números, con todo lo que tienen de juego, pero también de misterio y sorpresa. Te puedes topar, por ejemplo, con ellos en un tunel de metro en Viena, en cuyas paredes, forradas de espejos, se muestran los números de nuestro mundo. Allí están los tropecientos números del número pi (nada de sólo 3,1416, como nos enseñaron), pero también las cervezas y los escalopes que se están tomando ese día en Austria. O los habitantes que en cada segundo tiene la Tierra, nacimientos y muertes que cambian vertiginosamente al ritmo de la vida.

Un libro que leí, “Suma y sigue”, de la escritora australiana Toni Jordan, termina diciendo: “La vida no es estar de pie sobre una montaña contemplando la puesta de sol. La vida no es ese día en que te ves frente al altar o ese otro en el que nace tu hijo o aquel en el que estabas nadando en aguas profundas y te pasó un delfín al lado. Eso son fragmentos. Diez o doce granos de arena esparcidos por toda tu existencia. No son la vida. La vida es cepillarte los dientes, hacerte un sándwich, ver las noticias o esperar el autobús. O caminar. Cada día suceden miles de episodios diminutos y, si no estás observando, si no los registras y no haces que cuenten, podrías perdértelos. Podrías perder la vida entera.”

Al final va a resultar que la vida, esa cuestión tan filosófica, consiste también en matemáticas. O, dicho de otra manera, en sumar llevando.

(Este post va dedicado a mi compañero de trabajo Juan Miguel, profe de Matemáticas de quien sospecho que, en el fondo, ama la filosofía. En la imagen el túnel de metro de Viena con los tropecientos mil números del nº pi)

20 comentarios:

  1. Querida, la vida es un continuo, como la línea recta, en lo infinitamente pequeño, próximo y en lo infinitamente grande o alejado. Y todos los infinitos puntos de ese continuo están enlazados con la filosofía de la vida .... difícil tarea, no crees?
    Bonito artículo!

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    1. Bella imagen la de la vida como un continuo, muy propio de una matemática.

      Mi abuelo, el poeta, escribió un poema "geométrico" que empezaba diciendo:

      Un círculo en el cielo,

      un triángulo en el mar

      y, entre las dos figuras,

      la línea horizontal.

      La última estrofa era:

      Abarca el infinito

      con fe en el corazón

      Camina por la recta

      y encontrarás a Dios.

      Cada uno le busca el sentido a ese continuo y esa será su filosofía de la vida. Y sí, es una difícil tarea.

      Un abrazo fuerte.

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  2. Empiezo felicitándote por otra magnífica entrada, querida "profe" de Filosofía. Muy en tu línea: reflexiva, filosófica, irónica y matemática entrada. Lo tiene todo.
    Continúo diciéndote que yo también tuve que oír a un colega de Matemáticas, (que no compañero de Centro), alardear al grito pelado y en un pasillo atestado de profesores varios, que "¡¡Las Matemáticas se defienden solas!!". Y mira que le tienen y le hemos tenido miedo la inmensa mayoría de los estudiantes.
    No tuve la suerte de encontrarme con alguien que me hiciera amarlas como lo hizo tu padre contigo. Ni siquiera, uno solo de los muchos especialistas (sólo especialistas) que tuve que sufrir en mis siete años de enseñanzas medias. Lo único que consiguieron fue eso: hacerme sufrir.
    Sin embargo, me encantan las Matemática y, sobre todo, la Geometría, que he ido descubriendo por mi cuenta y a lo largo de los años de profesional. Incluso, disfruté enseñándola y procuré que también disfrutaran mis alumnos.
    Por lo menos, tuve el consuelo de haber aprendido, (de aquellos especialistas, que no profesores), a no hacer lo que ellos hicieron conmigo: tenerle miedo a las Matemáticas.
    Lo dicho: estupenda y aleccionadora entrada.

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    1. Tal vez los profes de matemáticas deberían intercalar esos aburridos problemas de tanques y piscinas que se llenan y vacían con la parte lúdica de las matemáticas: esos maravillosos libros de Smullyan ("Alicia en el país de las adivinanzas", "¿Cómo se llama este libro?", "¿La dama o el tigre?"...), de Martin Gardner ("Ajá", Nuevos pasatiempos matemáticos", "Carnaval matemático"...) o de Lewis Carrol. Y también ¿por qué no? con el fomento de toda la literatura que hay alrededor de las matemáticas: "El tío Petrus y la conjetura de Golbach" de Apostolos Doxiadis, "El asesinato del profesor de matemáticas" de Jordi Sierra i Fabra, "El diablo de los números" de Enzensberger, "Malditas matemáticas" de Carlo Frabetti, "La selva de los números" de Ricardo Gómez... Jugar, descubrir, buscar soluciones es algo que a todos nos gusta y, haciéndolo, quizás le perderíamos el miedo.

      Un abrazo y gracias por tus palabras.

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  3. Llámame suspicaz pero me da a mí en la nariz que hay una cierta creencia muy extendida respecto a que las ciencias son más útiles/importantes/imprescindibles que las letras.

    Que como simplificación, no está nada mal.

    Yo he oído muchas veces (dicho bien en serio) que para qué servía saber de historia y no te digo yo de arte o literatura.

    Después existen personas como tú, inteligentes y reflexivas que nos descubren la belleza en cualquier parte, y no me refiero a las matemáticas, sino a ese párrafo final maravilloso que te agradezco mucho que me hayas "regalado".

    pd. ¿Conoces La Fórmula Preferida del Profesor"

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    1. Muchos de mis alumnos me preguntaban cuando empezaba el curso que para qué servía la filosofía. Yo les decía siempre que, por lo pronto, para aprobar y pasar de curso. Ya descubrirían ellos por sí mismos si era algo que les "servía" personalmente o no. De todas formas, la utilidad como valor en alza y como sinónimo de importancia es muy de nuestro siglo. Antes, ni se la nombraba.

      ¿Verdad que es un párrafo precioso el de "Suma y sigue"? Me gustó mucho el libro, y eso que el tema de entrada no parece atractivo: una chica que, por un trauma de su infancia, tiene la obsesión de contar todo: pasos, metros, minutos, toda la vida cronometrada. Pero lo cuenta todo con un humor que te hace cogerle cariño enseguida y comprender las cosas que le pasan y su modo de plantearse la vida.

      Sí que leí el libro de Yoko Ogawa, "La formula preferida del profesor". También me gustó por ese ritmo pausado que tienen todas las narraciones orientales y por esos tres personajes tan tiernos: el profesor desmemoriado (yo también apunto mucho), su sirvienta y el hijo de ésta. Un buen libro, con el fondo de las matemáticas.

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  4. Muy bien como siempre tu artículo, querida Jane, pero con tu permiso voy a hacer algunas aclaraciones. 80 años no es nada ( como diría el tango) si tenemos en cuenta que aún hay conjeturas y paradojas que no se han resuelto. Como bien dices llevamos 27 siglos, y algunos más, aplicando las teorías pitagóricas en todas las ramas del saber. Sabes que la terna 3,4 y 5 son números pitagóricos y también 5,12 y 13 y ¿cuántos más?
    Los conjuntos de Sidon son conjuntos de enteros positivos con la propiedad de que todas las sumas de dos elementos del conjunto son distintas.
    Por ejemplo, {1, 2, 5, 10, } es un conjunto de Sidon mientras que {1, 2, 3, 4} no lo es, porque aparecen sumas repetidas: 1+4=2+3.
    ¿Cuál es el mayor tamaño que puede tener un conjunto de Sidon en {1, . . , n}? ¿Y si permitimos que cada suma pueda aparecer hasta g veces? (Esta es la llamada generalización o conjuntos g-Sidon)
    Los españoles Javier Cilleruelo y Carlos Vinuesa junto con Imre Ruzsa han resuelto finalmente este problema, utilizando nuevas herramientas probabilísticas, algebraicas y combinatorias. El resultado ha sido inesperado porque se pensaba que dichos conjuntos no podían ser tan grandes como finalmente se ha demostrado.
    De todas formas, algún filósofo dijo aquello de que “nada sirve para todo, pero todo sirve para algo” o algo así.
    Un abrazo.

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    1. A mí lo que me admira de los matemáticos es su perseverancia. Como alguien (como Fermat) tenga la ocurrencia de anotar en el margen de una hoja: "He descubierto una demostración maravillosa pero este margen es demasiado estrecho para contenerla", allá van todos a romperse los cuernos años y siglos (3 siglos tardaron con ésta) intentando hallarla. Que si la conjetura de Fermat, que si la de Golbach, que si la de Poincaré, que si los puentes de Königsberg, que si los problemas de Sidon (muy bien explicado por ti; se nota la profesionalidad)... No me extraña nada que Perelman, el que convirtió en teorema la conjetura de Poincaré, esté medio majareta, rechazando medallas y millones de dólares, después de años y años pensando en lo mismo.

      Pero bueno, no sé por qué digo esto de los matemáticos cuando los filósofos llevan 27 siglos preguntándose qué es la filosofía. Debe ser que los humanos somos así.

      Un abrazo.

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  5. Me gustó mucho el post. Yo siempre odié las matemáticas, aunque mucho más la física. Nunca pensé que se pudieran decir cosas tan bonitas sobre algo tan horroroso como son las matemáticas (al menos para mí).
    Creo que eso es un don que tienes, haces que cualquier tema, cualquier historia que cuentes o cualquier cuento que relatas suene melodioso, dulce y reflexivo.
    Me hubiera gustado verte por un agujerito dando clase de filosofía a tus alumnos. Estoy segura de que las hacías muy amenas.
    Muchos besos.

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    1. La primera clase particular que di (yo, en 1º de carrera) fue de Matemáticas. Cobraba ¡mil pesetas al mes! y, aunque debo reconocer que la preparaba con la ayuda de mi padre, lo cierto es que el chico aprobó con nota (él también odiaba las matemáticas) y su madre, agradecida, me regaló un cepillo de plata que todavía tengo.

      Yo creo que, si entiendes una cosa hasta el punto de poderla transmitir, eso te llega a gustar.

      Gracias por lo que me dices, me animas mucho y me emociona. Y en mis clases yo, por lo menos, me lo pasaba estupendo. Y eso también se transmite.

      Un abrazo fuerte.

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  6. Hoy publica La Opinión una entrevista al profesor de Matemáticas Fernando Corbalán Yuste (que no enlazo porque no está en la edición digital o, por los menos, yo no la encuentro) en la que dice unas cuantas cosas que me parecen interesantes sobre el tema que planteas.
    Como sabes, me considero un damnificado por los profesores de Matemáticas que decidieron que unos cuantos compañeros de clase y yo éramos de Letras y dejaron de prestarnos atención a partir de los trece años. Se dedicaban a trabajar con los pocos que los entendían y a los demás nos ponían un cinco para aprobar el curso. A lo mejor tenían razón, pero está claro que de manera arbitraria cerraron a muchos de mi generación un campo de conocimiento inmenso.
    Pero vuelvo al profesor Corbalán que dice : "Ha llegado el momento de decir que si las Matemáticas tienen mala fama, parte de culpa tendremos los que enseñamos la materia. (...) Aceptemos que la asignatura se podría enseñar mejor." y, también, "Buena parte de las taras en la enseñanza matemática vienen del hecho de que está anclada en problemas de antes"
    Este tipo de ideas puede servir para iniciar un debate en profundidad acerca de cual es el conocimiento matemático mínimo para desenvolverse en nuestra sociedad y cuál debe ser el papel real de la escuela en lograrlo.
    En fin este es mi granito de arena al debate que planteas.
    Por cierto, ¿Sidón no era una ciudad fenicia junto con Tiro?

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    1. ¡Qué razón tienes tú y el profesor Corbalán! Es verdad que también es una materia difícil pero, de todos los profesores que me enseñaron matemáticas, sólo mi padre y la profesora que tuve en 4º de bachillerato (se llamaba Gloria Fernández) eran buenos profesores y sabían hacértela interesante. Los demás parecía que estaban hablando con la pizarra. Y ya ves lo que dice más abajo Geo-metría: a ella los suyos la hacían sufrir. Pero eso pasa con todas las asignaturas si no te las transmiten bien. Mi hijo odiaba la historia hasta que en 2º de BUP encontró a Isabel Régulo, una profesora estupenda.

      Creo que lo que planteas -conocimientos prácticos y necesarios para nuestro mundo y qué debe hacer la escuela para enseñarlos- es el gran reto que tiene la educación en general para el siglo XXI.

      Lo de Tiro y Sidón es como lo de Indíbil y Mandonio, uno de esos recuerdos indelebles que nos dejó la educación de antes y que, como ves, sirven para ponerlo aquí ahora.

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  7. Seguramente tu compañero no intentaba boicotear tus clases, sino que al ser consciente de que te gustaban las Matemáticas, quería provocarte.
    Él sabía que ha habido grandes filósofos que fueron además matemáticos extraordinarios, tales como Descartes, Pascal, Hilbert y tanto otros.
    Los filósofos, deseosos de aclarar el misterio del conocimiento humano, han hecho uso del conocimiento matemático y de su estructura, al estar ésta desligada de aspectos tales como la naturaleza de la voluntad o de la influencia de los sentidos.
    No cabe duda de que tu padre tuvo en ti una excelente alumna, al iniciarte en tus primeros contactos con los números y con las figuras geométricas. Esos números y figuras, como dices, aparecen continuamente antes nuestros ojos al mirar con detenimiento la naturaleza.
    Encontraríamos también, con algo más de observación, además de multitud de tales figuras, números muy interesantes y frecuentes como los de la sucesión de Fibonacci-por ejemplo en la flor de los girasoles- o el número áureo.
    Cuando Galileo decía que la filosofía está escrita en ese gran libro abierto ante nuestros ojos, que es el universo, añadía que “no puede entenderse si antes no se procura entender su lenguaje y conocer los caracteres en que está escrito. Ese libro está escrito en lenguaje matemático, y sus caracteres son triángulos, círculos…”
    Conozco tu gusto por todo lo relacionado con las matemáticas recreativas y, en particular, por los problemas de ingenio de los que hacías uso en tus clases de Filosofía, contribuyendo a amenizarlas, despertando el interés de tus alumnos.
    También ha habido filósofos que han sido matemáticos vocacionales y grandes divulgadores de las matemáticas recreativas. Entre ellos destaca, sin duda, Martin Gardner, que publicó durante treinta años en la columna Juegos Matemáticos de la revista mensual Scientific American –Investigación y Ciencia en la edición española- trabajos de divulgación científica y pasatiempos matemáticos. Ha escrito, además, gran número de libros muy amenos en los que ha recopilado gran número de esos trabajos.
    Me ha gustado mucho tu “sumar llevando” y te animo al “suma y sigue”
    Un abrazo,

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    1. Es un mundo fascinante. Ahora El País está sacando una serie de libros dedicados a las Matemáticas, con temas tan bonitos como la proporción áurea, los códigos de los espías, los números primos, los enigmas, la relación entre la música y las matemáticas, y, por supuesto, un libro dedicado a los juegos matemáticos, que no me pienso perder.. Como sabes, me aficioné mucho a los acertijos, paradojas y pasatiempos matemáticos en los años en que estuve impartiendo la asignatura "Aprender a razonar", pero todavía hoy me encanta hacer diariamente un sudoku de los difíciles y jugar 2 o 3 partiditas de rummy con el ordenador.

      Creo que muchas de las dificultades que se nos plantean ante muchos problemas matemáticos vienen de tener ideas previas y fijas que no nos dejan ver la solución o las soluciones. Prescindir de esas ideas y mantener la mente abierta es el camino, pero no sólo en el mundo de las matemáticas sino en la vida en general.

      Es un placer verte por aquí. Gracias por tus ánimos. Un abrazo.

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  8. Francisco González14 de marzo de 2015, 17:21

    Paradojas,diría yo: "dos o tres horas" nadando contra corriente,para morir en la orilla.La Vida,es sin duda,una Gran Ecuación Aritmética.En la que parece que el orden de los factores no alterará nunca su resultado final,ni inicial.Pero también,tiene algo de "esas otras cosas".
    Buen fin de semana a todos-as.

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    1. Y por esas casualidades de la misma vida, Francisco, hoy en que se me ocurrió hablar de las matemáticas y poner una imagen con los tropecientos números del nº Pi, resulta que se celebra en todo el mundo por parte de los forofos de las matemáticas el Día del Número Pi. Si leemos la fecha como lo hacen los anglosajones (el mes delante) hoy es el día 3-14-15 y el Instante Pi fue a las 9:26:53. En total, 3 14 15 9 26 53. Es un instante único que no volverá a pasar hasta dentro de 100 años.
      Con motivo del evento, se celebran en todo el mundo hoy reuniones, maratones, jornadas, juegos... todos en torno al número Pi, incluso en Estados Unidos acompañadas de tartas de manzana ("Pie", que se pronuncia en inglés igual que "Pi")
      Así que me alegro de haber hablado hoy del encanto de las matemáticas, de haber puesto esa imagen que tomé en Viena en septiembre y de que tú y yo nos demos cuenta y filosofemos acerca de que, al fin y al cabo, vivimos en un mundo matemático.
      Buen fin de semana.

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  9. Me ha gustado mucho las relaciones que estableces entre las matemáticas , otros conocimientos y la vida cotidiana. Las matemáticas están en todo. Durante años tuve un objetivo, que a mis chicos les gustara,
    que les divirtieran, que la vieran en todas partes. Las citas que has hecho son muy interesantes desde tu óptica filosófica y amante de las letras.

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    1. Muchas gracias. Tienes razón, soy amante de las letras pero también de las ciencias. Es lo que tiene la filosofía, que no se puede entender sin la perspectiva científica. Muchos de los grandes filósofos (Pitágoras, Platón, Descartes, Leibniz, Bertrand Russell...) fueron también grandes matemáticos. Y ver, como Galileo, que la naturaleza está escrita en lenguaje matemático y que, para entenderla, tienes que mirar alrededor, verla por todas partes y saber matemáticas, me parece un objetivo loable.

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  10. Ay, me ha encantado, que recuerdos! Yo, como alumna suya en COU e hija de profesora de filosofia, tambien "sufria" sus comentarios diarios... como nos reiamos! En realidad no son tan distintas la filosofia y las matematicas ;) Besos, y recuerdos tambien al profe de matematicas. Perdona la ausencia de tildes, pero estoy con el teclado ingles... :) Carlota

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    1. Claro, que no son tan distintas, Carlota. De hecho ya ves la cantidad de filósofos que han sido grandes matemáticos. Y la cantidad de matemáticos que han filosofado, desde Newton a Einstein.
      Mi compañero y profesor tuyo, a pesar de todo, era (y es porque no se ha jubilado) un gran profesor, preocupado por impartir bien sus clases y amante de sus matemáticas del alma. Él me sugirió unos libros estupendos de su materia para tenerlos en la Biblioteca del centro y me leí unos cuantos que me encantaron. Le tengo un gran aprecio, aunque entonces le montara la bulla.
      Un abrazo y es verdad ¡qué recuerdos!.

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